순환과 무작위, 하늘의 주기와 게임의 확률

하늘에는 어김없이 돌아오는 것들이 있다. 해는 한 해를 돌아 같은 자리로 오고, 식은 정해진 간격을 두고 되풀이된다. 반면 동전 던지기나 주사위 굴리기에는 돌아오는 주기가 없다. 두 세계는 겉보기에 비슷한 듯하지만, 그 속을 들여다보면 정반대다. 이 글은 하늘의 주기와 게임의 무작위를 나란히 놓고, 둘이 어떻게 다른지, 그리고 그 둘을 헷갈릴 때 어떤 일이 벌어지는지를 짚는다.

하늘의 주기

하늘이 보여주는 규칙성은 놀랍도록 견고하다. 해가 뜨고 지는 자리는 한 해를 주기로 오가고, 그 양 끝에 동지와 하지가 있다. 달은 차고 기울기를 되풀이하고, 일식과 월식은 약 열여덟 해의 간격을 두고 닮은 모습으로 돌아온다. 이 주기들은 수천 년 전 사람들도 알아챌 만큼 또렷하고 어김없다.

주기가 있다는 말의 핵심은 과거가 미래를 알려준다는 데 있다. 동지가 언제였는지 알면 다음 동지가 언제일지 안다. 어떤 식이 일어났다면 한 주기 뒤에 닮은 식이 온다. 고대인이 하늘을 예측할 수 있었던 것은 바로 이 되돌아옴 덕분이다. 그들이 식을 어떻게 짚어냈는지는 https://ancientskies.info/eclipse-prediction-saros-antikythera/에서, 동지를 어떻게 돌에 새겼는지는 https://ancientskies.info/solstice-alignment-newgrange-stonehenge/에서 다룬다.

물론 하늘의 주기도 완벽한 영원은 아니다. 아주 긴 세월에 걸쳐 지구의 축은 천천히 흔들리고, 별이 뜨는 자리도 수천 년 단위로 옮겨간다. 그러나 사람의 삶과 역사의 길이에서 보면 이 변화는 무시할 만큼 느리다. 우리가 다루는 시간 안에서 하늘의 주기는 사실상 어김없는 약속으로 작동한다.

게임의 무작위

이제 정반대의 세계를 보자. 동전을 던질 때 앞면이 나올지 뒷면이 나올지는 미리 알 수 없다. 더 중요한 것은, 앞선 결과가 무엇이었든 다음 결과에 아무 영향도 주지 않는다는 점이다. 동전에는 기억이 없다. 주사위도, 잘 섞은 카드도 마찬가지다. 각각의 시행은 앞뒤로 완전히 끊겨 있다.

그래서 이런 사건의 과거를 아무리 들여다봐도 다음 한 번은 알 수 없다. 하늘의 식처럼 돌아오는 주기가 없기 때문이다. 무작위와 독립사건이 정확히 무엇인지는 https://ancientskies.info/glossary/에 풀어두었다. 하늘이 약속을 지키는 세계라면, 무작위는 어떤 약속도 하지 않는 세계다.

닮은 듯 정반대

두 세계를 나란히 놓으면 차이가 또렷해진다. 하늘의 주기에서는 과거가 미래의 길잡이다. 더 오래 기록할수록 다음에 무슨 일이 일어날지 더 잘 안다. 무작위의 세계에서는 정반대다. 과거를 아무리 쌓아도 다음 한 번에 대해서는 한 걸음도 더 알 수 없다. 기록이 길어질수록 알게 되는 것은 다음 한 번이 아니라 전체의 비율뿐이다.

이 차이를 놓치면 두 세계를 같은 방식으로 대하게 된다. 하늘을 읽듯 무작위를 읽으려 하고, 거기서 있지도 않은 길잡이를 찾는다. 겉모습이 비슷해 보일수록 속의 차이를 분명히 새겨두어야 하는 까닭이다.

두 세계를 가르는 선

여기서 가장 중요한 구분이 등장한다. 큰 수의 법칙과 도박사의 오류다. 이름은 비슷한 것을 가리키는 듯 보이지만, 하나는 참이고 하나는 거짓이다. 이 둘을 또렷이 구별하는 것이 우연을 제대로 이해하는 열쇠다.

큰 수의 법칙은 같은 일을 아주 여러 번 되풀이하면 결과의 비율이 이론적인 값에 가까워진다는 참된 성질이다. 반면 도박사의 오류는 한쪽이 여러 번 나왔으니 이제 반대쪽이 나올 차례라는 거짓된 느낌이다. 둘 다 많은 시행과 균형을 이야기하지만, 하나는 비율의 수렴을 말하고 다른 하나는 다음 한 번의 보정을 말한다. 이 차이가 전부다.

큰 수의 법칙이 정말 말하는 것

큰 수의 법칙을 정확히 이해해보자. 동전을 던질수록 앞면이 나온 비율은 절반에 가까워진다. 이것은 수학적으로 탄탄히 증명된 사실이다. 이 법칙에 대한 형식적인 정의는 울프럼 매스월드의 큰 수의 법칙 항목에서 볼 수 있다. 시행이 쌓일수록 비율은 점점 더 안정적으로 이론값에 다가선다.

그런데 여기에 흔한 오해가 있다. 비율이 절반에 가까워진다는 것이, 한쪽으로 쏠린 결과를 동전이 나중에 되갚는다는 뜻이 아니다. 앞면이 열 번 더 나왔다고 해서 나중에 뒷면이 열 번 더 나와 균형을 맞추는 일은 일어나지 않는다. 무슨 일이 일어나느냐면, 시행 횟수가 어마어마하게 커지면서 그 열 번의 차이가 전체 속에 묻혀 비율로는 보이지 않게 되는 것이다. 차이는 사라지지 않는다. 다만 묻힐 뿐이다.

이 점이 큰 수의 법칙과 도박사의 오류를 가른다. 큰 수의 법칙은 비율이 묻힘으로 수렴한다고 말하지, 개별 결과가 보정된다고 말하지 않는다. 둘을 혼동하면, 참된 법칙을 근거로 거짓된 기대를 품게 된다. 한쪽이 쏠렸으니 곧 반대가 나오리라는 도박사의 오류는, 큰 수의 법칙을 잘못 읽은 결과인 셈이다. 이 착각의 심리적 뿌리는 https://ancientskies.info/patterns-and-randomness/에서 더 깊이 다룬다.

기댓값과 하우스 엣지

큰 수의 법칙은 우연을 다루는 자리에서 냉정한 결론으로 이어진다. 우연을 이용해 굴러가는 게임에는 기댓값이라는 것이 있다. 한 번의 결과는 알 수 없어도, 아주 여러 번 되풀이했을 때 평균적으로 어느 쪽으로 기우는지는 정해져 있다. 그리고 이런 게임은 대개 그 기댓값이 게임을 여는 쪽에 유리하도록 설계되어 있다.

이 작은 기울기를 흔히 하우스 엣지라 부른다. 한 판 한 판은 우연이 지배해서 참가자가 이길 수도 질 수도 있다. 짧은 시간에는 누구든 앞설 수 있다. 그러나 큰 수의 법칙이 작동하기 시작하면, 곧 시행이 쌓일수록 전체 결과는 그 설계된 기댓값으로 수렴한다. 짧게 보면 우연이지만 길게 보면 산수다. 그리고 그 산수는 게임을 여는 쪽으로 기울어 있다.

이것은 미화할 수도 비난할 수도 없는 구조적 사실이다. 우연 위에 기댓값을 얹어 길게 보면 어느 쪽이 수렴의 이득을 가져가는지가 정해지는 것이다. 과거의 흐름을 읽어 다음을 맞히려는 시도가 헛도는 이유도 여기에 있다. 결과가 독립이라면 과거에는 다음에 대한 정보가 없고, 기댓값은 그 모든 시행에 걸쳐 조용히 제 몫을 거둔다. 기댓값과 하우스 엣지의 짧은 풀이도 https://ancientskies.info/glossary/에 적어두었다.

확률을 안다는 것

여기서 한 가지 오해를 짚어둘 만하다. 어떤 일이 일어날 확률을 안다는 것은, 그 일이 다음에 일어날지를 안다는 뜻이 아니다. 비가 올 확률이 절반이라는 말은 오늘 비가 올지 안 올지를 알려주지 않는다. 다만 같은 조건이 아주 여러 번 반복되었을 때 그중 절반쯤에서 비가 온다는 뜻일 뿐이다.

확률은 개별 사건이 아니라 긴 반복에 관한 이야기다. 이 점을 잊으면, 확률을 안다는 것을 미래를 안다는 것으로 착각하게 된다. 우연의 세계에서 우리가 손에 쥘 수 있는 것은 다음 한 번이 아니라 긴 반복의 경향뿐이라는 사실은, 아무리 강조해도 지나치지 않다.

짧게 보면, 길게 보면

왜 짧은 시간에는 이 기울기가 잘 보이지 않을까. 적은 시행에서는 우연의 출렁임이 기댓값의 작은 기울기보다 훨씬 크기 때문이다. 몇 판 안에는 운만으로도 크게 앞설 수 있고, 그 출렁임이 기댓값을 가려버린다. 그래서 짧게 보면 마치 실력이나 흐름이 결과를 좌우하는 것처럼 느껴진다.

그러나 시행이 쌓이면 우연의 출렁임은 비율 속에 묻히고, 작지만 한 방향으로 꾸준한 기댓값만 또렷이 남는다. 이것이 짧게 본 인상과 길게 본 결과가 정반대로 갈리는 까닭이다. 한두 번의 운 좋은 경험은 길게 이어지는 수렴 앞에서 예외가 아니라 출렁임의 일부일 뿐이다.

운이라는 말

우리가 운이라 부르는 것의 정체도 이 틀에서 볼 수 있다. 짧은 시간의 결과는 우연의 출렁임에 크게 좌우되고, 그 출렁임이 누군가에게는 행운으로 누군가에게는 불운으로 나타난다. 운이 좋았다는 말은 대개 그 출렁임의 윗자락을 탔다는 뜻이고, 운이 나빴다는 말은 아랫자락에 걸렸다는 뜻이다.

문제는 이 운을 이어지는 무언가로 여길 때 생긴다. 운이 트였으니 계속 좋을 거라거나, 운이 다했으니 이제 좋아질 차례라는 생각이 그렇다. 그러나 독립적인 무작위에는 이어지는 운도 바닥난 운도 없다. 다음 결과는 지난 운과 무관하게 매번 새로 정해진다. 운은 결과를 부르는 힘이 아니라, 이미 나온 출렁임에 우리가 붙이는 이름일 뿐이다.

이 점을 받아들이면 우연을 대하는 태도가 한결 담담해진다. 좋은 출렁임을 만났을 때 그것을 실력이나 정해진 흐름으로 부풀리지 않고, 나쁜 출렁임에 걸렸을 때 그것을 곧 보상받을 빚으로 여기지 않게 된다. 운을 있는 그대로, 곧 우연이 잠시 그린 무늬로 바라보는 것이다.

두 세계를 헷갈릴 때

사람이 자주 빠지는 함정이 바로 이 두 세계를 헷갈리는 것이다. 하늘에서 규칙을 읽어내던 머리가, 규칙이 없는 곳에서도 주기와 흐름을 찾으려 한다. 무작위한 결과에서 돌아오는 차례를 기대하고, 우연한 쏠림에서 곧 뒤집힐 추세를 읽는다. 하늘의 식처럼 정말로 돌아오는 것과, 동전처럼 결코 돌아오지 않는 것을 같은 눈으로 보는 것이다.

이 혼동이 위험한 까닭은 그것이 그럴듯하게 느껴지기 때문이다. 하늘에서는 그 기대가 옳았다. 충분히 기다리면 동지는 돌아왔고 식은 되풀이되었다. 그 성공의 기억이 무작위의 세계로 잘못 옮겨 가면, 한쪽으로 쏠린 결과를 보고 이제 균형이 돌아올 차례라 믿게 된다. 옳은 직관이 엉뚱한 자리에서 작동하는 것이다. 무엇이 돌아오고 무엇이 그렇지 않은지를 가리는 일의 중요성은 https://ancientskies.info/from-sky-to-probability/에서 정면으로 다룬다.

이 혼동은 비단 노름판에서만 손해를 부르는 것이 아니다. 일상에서 우연한 연속을 흐름으로 오해하고, 한 번의 결과로 큰 결정을 내리는 일도 같은 뿌리에서 나온다. 무작위를 주기로 착각하는 순간, 우리는 있지도 않은 신호를 따라 움직이게 된다. 그래서 두 세계를 구분하는 일은 한가한 사색이 아니라, 헛된 기대에 휘둘리지 않기 위한 실용적인 분별이기도 하다.

고대의 분별

흥미로운 것은 하늘을 읽은 고대인이 오히려 이 분별에 가까웠을지도 모른다는 점이다. 그들은 무엇이 돌아오는지를 알아내기 위해 오랜 세월 관찰을 쌓았다. 어떤 것이 주기를 갖는지는 거저 주어지지 않았고, 여러 세대의 기록을 통해서만 확인되었다. 그 끈질긴 검증의 태도는 돌아오는 것과 돌아오지 않는 것을 함부로 단정하지 않는 신중함을 길러주었을 것이다.

운명을 점치려던 흐름과 빈도를 세려던 흐름이 어떻게 갈라졌는지는 https://ancientskies.info/astrology-to-statistics/에서 다룬다. 거기서도 핵심은 같았다. 정말로 규칙이 있는 것과 그저 그렇게 보이는 것을 가리는 일이다. 하늘의 진짜 주기를 알아본 눈과, 우연에 없는 주기를 지어내지 않는 눈은 사실 같은 분별의 두 얼굴이다.

이 분별은 거저 얻어지지 않는다. 무엇이 돌아오는지 알려면 오래 지켜봐야 하고, 무엇이 돌아오지 않는지 받아들이려면 많은 사례를 견뎌야 한다. 둘 다 성급함의 반대편에 있다. 한 번의 인상으로 주기를 단정하지 않고, 한 번의 쏠림으로 보정을 기대하지 않는 태도, 그 차분함이 하늘 읽기와 우연 다루기 양쪽에서 똑같이 요구된다.

하늘의 주기와 게임의 무작위는 둘 다 우리에게 겸손을 가르친다. 하늘은 충분히 오래 지켜보면 그 규칙을 내어주지만 서두르는 자에게는 아무것도 보여주지 않고, 무작위는 아무리 오래 들여다봐도 다음 한 번을 끝내 알려주지 않는다. 둘을 헷갈리지 않는 것, 곧 돌아오는 것 앞에서는 끈기를 갖고 돌아오지 않는 것 앞에서는 환상을 버리는 것. 그것이 하늘과 우연을 나란히 들여다본 끝에 남는 가장 단단한 교훈이다.